Behälter B100
In einem Behälter befinden sich 800 L Wasser bei einer Temperatur von 80°C. Über ein Ventil werden 300 L/min Wasser mit einer Temperatur von 15°C pro Minute zu gemischt. Aus dem Behälter werden konstant 300 L/min abgezogen. Wie ändert sich die Temperatur im Behälter?
Fragestellung – Aufgabe
Bestimmen Sie den Temperaturverlauf des ablaufenden Wassers, unter der Voraussetzung, dass keine Verluste durch Strahlungswärme auftreten. Eine Zeitverzögerung durch ungleichmäßige Durchmischung wird vernachlässigt.
Hilfe zur Selbsthilfe
Anlagenteil B100
Bei der Analyse des Systems erkennt man, dass mit dem Zulauf und dem Ablauf ein Energieaustausch verbunden ist. Die im Behälter vorhandene Energie wird durch den Ablauf verringert und durch den Zulauf ergänzt. Aus dieser Beobachtung lässt sich eine Mischenergie, die zeitlich variabel ist ableiten.
System B100
Daraus ergibt sich der Systemblock B100 mit dem Zugang Qzu und dem Ablauf Qab. Beide Größen sind zeitabhängig. Für eine Berechnung werden also Gleichungen, die Zeitabschnitte berücksichtigen benötigt. Die Lösung wird durch eine Iteration über die Zeit gebildet.
Die Überlegung zum Energieaustausch lässt sich durch folgende Gleichung beschreiben:
Dabei zeigt der Punkt bei Q und m die zeitliche Abhängigkeit an. („erste Ableitung nach der Zeit“)
Basisgleichung
Dabei zeigt der Punkt bei Q und m die zeitliche Abhängigkeit an. („erste Ableitung nach der Zeit“)
Mit der zeitlich veränderlichen Energiegleichung ergeben sich für die Teilsysteme folgende Gleichungen:
Damit ergibt sich die Systemgleichung zu:
Die vorhandene Temperatur im Ablauf ist gleich der vorhandenen Temperatur im Behälter. Für die Analyse wird zwischen der Temperatur vor dem Zeitintervall und der Temperatur nach dem Zeitintervall unterschieden. Damit ergeben sich kleine Ungenauigkeiten in der Rechnung. Dieser Fehler wird um so kleiner, je kleiner die Zeitintervalle gewählt werden. Damit ergibt sich eine Iterationsrechnung.
Gleichungssystem
Damit ergibt sich die Systemgleichung zu:
Systemgleichung
Die vorhandene Temperatur im Ablauf ist gleich der vorhandenen Temperatur im Behälter. Für die Analyse wird zwischen der Temperatur vor dem Zeitintervall und der Temperatur nach dem Zeitintervall unterschieden. Damit ergeben sich kleine Ungenauigkeiten in der Rechnung. Dieser Fehler wird um so kleiner, je kleiner die Zeitintervalle gewählt werden. Damit ergibt sich eine Iterationsrechnung.
| Schrittrechnung<//th> | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Lösung |
Die Temperatur klingt nach einer e-Funktion ab. Diese Funktionen sind typisch für Vorgänge mit zeitlicher Veränderung. Hier ist als Kontrollfunktion die Lösung der Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung angegeben, bei der eine Änderung der Masse im Behälter nicht berücksichtigt wird – Zulauf = Ablauf -.
Vergleicht man die durch Iteration berechneten Werte mit der Spalte t_dgl erkennt man, dass die reine rechnerische Lösung nahe bei der Lösung durch Iteration liegt. Würde man sehr kleine Zeitabstände für die Iteration wählen, wären die Abkling-Werte identisch mit der Lösung der DGL.
Lösung der DGL 1. Ordnung
Vergleicht man die durch Iteration berechneten Werte mit der Spalte t_dgl erkennt man, dass die reine rechnerische Lösung nahe bei der Lösung durch Iteration liegt. Würde man sehr kleine Zeitabstände für die Iteration wählen, wären die Abkling-Werte identisch mit der Lösung der DGL.